035. 삼각함수 sin, cos의 의미 (1) 피타고라스 정리가 삼각비의 기초
[수학클리닉]=웃는 얘기로 수학에서 영어 알파벳이 나오기 시작하면 어려워지고 그리스 문자가 나오면 더 어려워진다는 속설이 있다. 삼각함수는 중등 3학년2학기 마지막 과정에 삼각비 형태로 등장한다.
- 직각삼각형 세 변의 길이관계삼각함수를 알기 위해서는 먼저 삼각비를 알아야 하는데, 삼각비는 직각삼각형을 기초로 한 것이다. 삼각비는 직각삼각형 가운데 한쪽이 30도인 것과 한쪽이 45도인 것을 기초로 한다.
- <그림 1>에서 밑변이 1이면 빗변은 2이고 높이는 φ3이라는 것을 피타고라스의 정리를 활용하면 쉽게 알 수 있다.<그림 2>는 이 삼각형을 눕혀 놓은 것이어서 별 차이가 없다.<그림3>은 직각이등변삼각형이므로 등변길이가 1이면 빗변의 길이는 φ2가 된다.
2) 빗변을 기준으로 높이 sin 하변 cos이를 기초 삼각비라 하며 빗변을 분모로, 높이를 분자로 나타낸 것을 sin(사인)이라 한다. 분수는 비례 관계를 나타내므로 sin(사인)은 결국 빗변을 기준으로 한 높이의 관계를 표시한다.빗변을 기준으로 한 저변과의 관계는 cos(코사인)로, 아랫변을 기준으로 한 높이와의 관계는 tan(탄젠트)로 표기하여 읽는다.
이 삼각비의 기초값은 측량 현장에서 실용적으로 활용하고 있는 연원적으로는 탈레스가 이집트에서 피라미드의 높이를 측정할 때 삼각비를 활용했다는 이야기가 전해진다. 피타고라스의 정리도 가능하다.
천문학에서는 지구에서 항성까지의 거리를 측정할 때 ‘연주시차’를 사용한다. 지구는 태양을 중심으로 공전하기 때문에 지구가 공전 주기의 양 끝에 위치할 때 관측한 별의 각도를 측정하는 것이다. 우주에서 관측 대상 별은 모두 항성이기 때문에 천구에 고정돼 있어 지구의 공전 궤도는 크기를 알고 있다.따라서 지구의 공전궤도를 양끝점으로 해 관측 대상인 별까지의 관측 각도를 측정해 거대한 삼각형을 그리고 삼각비를 활용해 거리를 계산하는 것이다.
3) sin15, cos15, tan15 계산법
삼각비와 피타고라스 정리를 통해 2019년 3월 고1학평에서 기초적인 문제를 발췌하였다.
12. 그림과 같이 반지름의 길이가 8이고, 중심각의 크기가 90°의 부채꼴 OAB로 선분 OA 위에 OP=6이 되도록 점 P를 취한다. 점 P를 지나 선분 OA에 수직인 직선이 호 AB와 만나는 점을 Q라고 할 때, 선분 AQ의 길이는? [3점]
이 문제는 피타고라스의 정리를 이해하느냐고 묻고 있다.
그림과 같이 2점 O와 Q를 선분으로 연결하면 선분 OQ의 길이는 부채꼴 OAB의 반경 길이와 같으므로 OQ=8선분 PQ와 선분 OA는 수직이므로 2개의 삼각형 OPQ와 삼각형 AQP는 직각 삼각형.
직각 삼각형 OPQ에서의 피타고라스의 정리에 따라