11장에서는 편도함수는 배우지만 편도함수는 정말 중요한 부분이므로 반드시 개념을 제대로 숙지해야 한다.
일단 다변수 함수의 개념에 대해 구분을 할 수 있어야 한다.
다변수 함수는
- 각 변수가 독립변수로만 구성된 것
- 2) 변수 간의 음함수(종속변수)로 표현할 수 있는 것
- 이렇게 둘로 나눌 수 있다.
- 만약 여러 변수가 모두 관련돼 있다면 각 변수별로 케이스를 나눠줘야 한다.
- 함수의 그래프 개형을 그리는 방법은 levelcurve(등고선 f=k)가 있다.
- 특히, 3변수 함수는 3차원으로 함수값을 대응시키는 방법을 사용하여 표현할 수 있다.
- 이 변수 함수의 극한은 원판(모든 방향)으로 정의할 수 있으며 연속은 닫힌 구간을 포함하면 된다.
- 편미분의 개념은 변수 하나를 상수라고 생각하는 개념에서 비롯된다.
- 또한 편미분의 개념을 확장시키면 클레로의 정리를 증명할 수 있다.
- 접평면의 방정식은 F=f(x,y)-z=0으로 하여 구할 수 있다. 이는 선형 근사와 동일하다.
- 전미분의 개념을 보통 미분으로 연결시킬 수도 있고, 편미분은 수형도로 이해하면 용이하다.
- 음함수의 미분은 y=f(x) 또는 z=f(x)로 보고 편미분을 통해 구할 수 있다.
- 여기서 x,y가 독립 변수라면 dy/dx=0으로 본다.
- 11.5절 연습 문제에서 편미분 값의 보통 미분을 구성 변수의 합성 함수 미분으로 이해하고 구할 수 있다.
- 이 개념이 정말 중요하지만 각 상황에서의 편미분이 성립하는 경우를 구분해야 한다.
- x, y가 독립 변수이면 서로 관계없이 dy/dx=0이므로 f(x)의 보통 미분은 편미분과 같다.
- 방향성 함수는 벡터인 글래디언트와 방향 벡터의 내적으로 표현하고 스칼라 값을 갖는다.
- 3차원 좌표로 사영을 낮춰 극한을 잡는 개념을 이해하면 유도가 쉽게 된다.
- 여기서 방향벡터는 단위벡터임을 주의하자.
- 방향성 함수의 정의에서 방향성 함수의 최대값을 인출할 수 있다.
- f(x, y)-z=0을 확장시켜 3변수 함수의 접평면을 구할 수 있다.
- 이계 편도 함수 판정은 이차 다항식의 판별식을 확장시킨 개념으로 이해할 수 있다.
마지막으로 라그랑쥬고푸스에 대해서 배우는데
등고선 f(x)=k와 g(x,y)=p의 3차원 접선은 무수히 많지만 법선은 유일하고 서로 평행하다.
라는 개념으로 critical point를 선택하고 비교를 통해 최대, 최소한을 찾을 수 있다.
두 평면 교량의 최대 최소값 개념은 직관적으로 이해하기 어려운 부분이지만,
f, g의 교선 c:f에 있어서, 점 p의 그라디언트 f, g, h는 교선 c에 수직이다.
따라서, c:r(t)인 곡선의 접선 벡터 r'(p)이 법선인 평면상에 존재한다고 볼 수 있다.
3벡터가 공면이므로 2개의 벡터 g, h를 기저벡터로 하여 선형 결합하여 나머지 f로 표현할 수 있다.
이후 편미방에서 가장 중요한 개념을 포함한 부분이므로 꼭 완벽하게 이해하고 진행하자.
11.5장의 증명문제에서 심화개념을 적용하는 것이