[수학]수학교육론 진짜 왜 이렇게 많아

수학교육론# : 키워드 또는 용어정리

0. 수학적 사고[초등 빈출]1)직관적 사고:관찰, 실측, 제도 등이나 직감을 통해서 곧바로 전체를 감지할 수 있는 사고+)저학년”도형”학습으로 활용 삼다 2)귀납적 사고:몇가지 구체적인 사례==공통 요소 또는 규칙==>일반적인 원리나 법칙을 발견 예)2~3개의 사례=>원의 지름은 반경의 2배야!3)연역적 사고:일반적인 명제, 보편적 원리나 법칙=>특수로 개별적인 명제, 원리, 법칙을 이끌어 내는 예)삼각형의 삼각의 합은 180〫이다.( 대전제)오각형은 삼각형의 3가지로 나뉜다. ( 소전제)=>오각형의 오각의 크기의 합은 540〫이다. (결론)

1. 스켐프(Skemp) : 수학지식에 대한 학생의 이해수준(2)

1)도구적 이해:규범과 공식이 구성되는 이유는 모른 채 문제 해결에 적용한다. 장점)정리하기 쉽다. 신속한 학습 목표 달성 가능 즉각 보상(성취감 등), 신속한 결과 2)관계적 이해:규범과 공식이 구성된 이유를 알고 문제 해결에 적용한다. 장점) 새로운 문제에 응용 가능 기억 더 지속, 학습 자체에 흥미와 자신의 예)(평행 사변형의 넓이)=(바닥)x(높이)임을 알고 문제를 풀지만 이유를 모른다. =>도구적 이해 도구적 이해에 그치기 쉬운 영역)분수의 곱셈과 나눗셈, 평면 도형의 넓이

1) 도구적 이해: 규칙이나 공식이 구성된 이유는 모른 채 문제 해결에 적용할 것. 장점)정리하기 쉽다. 신속한 학습목표 달성 가능, 즉시 보상(성취감 등), 신속한 결과 2) 관계적 이해: 규칙이나 공식이 구성된 이유를 알고 문제 해결에 적용할 것. 장점)새로운문제에응용가능,기억오래지속,학습자체에관심과자신감의예)(평행사변형넓이)=(바닥)x(높이)임을알고문제를풀지만이유를모른다. => 도구적 이해 도구적 이해에 머무르기 쉬운 영역) 분수의 곱셈과 나눗셈, 평면도형의 넓이

2. 디에네스 (구성주의자) #교구조작 #놀이와게임 #디에네스블록 #속성블록

1)개념 학습 단계(6)★ 명칭 암기 예)삼각형 교수 시 ① 자유 놀이 단계:자유롭게 구체물에 접한 단계 삼각형과 삼각형이 아니라 속성 블록을 제시하여 자유스럽게 모아 모양을 만들거나 분류하고 보도록 한다. ② 게임 단계:조건이 가미된 놀이(게임)을 하는 단계 같은 종류의 도형을 찾기 게임을 하고 도형의 성질을 직관적으로 조사하게 하다. ③ 공통점 탐색 단계 ★(귀납적 사고):게임 후에 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조 파악 같은 종류의 도형이 공통적으로 가지고 있는 성질을 생각하고 보도록 한다. (=>추상화)④ 표현 단계(그림, 말, 그래프 등):공통적으로 들어 있는 구조나 개념을 다양하게 표현하는 단계, 같은 종류의 도형이 공통적으로 가지고 있는 성질을 언어적으로 표현한다. ⑤ 상징화 단계:전 단계에서 선택한 표현 방법=>수학적으로 기호화 정상, 변, 삼각형을 기호로 표현하고 다룬다. ⑥ 형식화 단계(연역적 사고):증명을 통해서 개념의 다양한 성질을 체계화하는 단계 일반적인 삼각형 성질을 통해서 특수한 삼각형의 성질을 체계화하고 다룬다.삼각형 삼각의 크기의 합은 180이다. (전 1)=>둔각 삼각형은 한쪽만 둔각이다.(결론)

1) 개념학습단계(6)★명칭 암기예) 삼각형 교수시 ①자유놀이단계:자유롭게 구체물을 접하는 단계 삼각형과 삼각형이 아닌 속성블록을 제시하여 자유롭게 모아 모양을 만들거나 분류해 보도록 한다. ② 게임 단계: 조건이 더해진 놀이(게임)를 하는 단계, 같은 종류의 도형을 찾는 게임을 하여 도형의 성질을 직관적으로 조사하게 한다. ③ 공통점 탐색 단계★(귀납적 사고): 게임 후 공통적으로 들어 있는 특정 개념의 수학적 구조 파악과 같은 종류의 도형이 공통적으로 가지고 있는 성질을 생각해 보도록 한다. (=>추상화)④표현단계(그림, 말, 그래프 등):공통적으로 들어있는 구조나 개념을 다양하게 표현하는 단계, 같은 종류의 도형이 공통적으로 가지고 있는 성질을 언어적으로 표현한다. ⑤ 상징화 단계 : 앞 단계에서 선택한 표현 방법 => 수학적으로 기호화 정점, 변, 삼각형을 기호로 표현하여 다룬다. ⑥ 형식화 단계(연역적 사고) : 증명을 통해 개념의 여러 성질을 체계화하는 단계 일반적인 삼각형 성질을 통해 특수한 삼각형의 성질을 체계화하여 다룬다.삼각형 삼각 크기의 합은 180이다. (전 제1)=>둔각삼각형은 일각만 둔각이다.(결론)

2) 개념학습원리(4)① 다이내미즘(활동) 원리: 놀이나 게임 등 다양한 활동이 우선되어야 한다. ② 구성원리 [05] : 구성(만들기)이 먼저, 분석은 나중에 ③지각적 다양성 원리 [중등] : 동일한 개념 표현 가능한 다양한 형태의 구체물 활용 ④수학적 다양성 원리 : 결정적 속성(개념 관련 변수) 고정, 비결정적 속성(개념 관련 X 변수) 변화하여 다양하게 제시② 구성원리③지각적 다양성 원리3. 브루너(구성주의학자) #인지수준에 맞는 표현 #표상1) EIS이론 [특수기출] [초등빈출]① 활동적 표상: 행위, 동작에 의한 표상팔을 이용하여 원 만들기, 세 과자와 네 과자를 손으로 합칠 것 ② 영상적 표상: 이미지의 형태로 표상화로 원을 나타낼 것, 수직선에 덧셈을 나타낼 것 ③ 상징적 표상: 기호, 용어 정리로 표상원 정의할 것, 숫자나 연산 기호를 사용하여 표현할 것1) EIS이론 [특수기출] [초등빈출]① 활동적 표상: 행위, 동작에 의한 표상팔을 이용하여 원 만들기, 세 과자와 네 과자를 손으로 합칠 것 ② 영상적 표상: 이미지의 형태로 표상화로 원을 나타낼 것, 수직선에 덧셈을 나타낼 것 ③ 상징적 표상: 기호, 용어 정리로 표상원 정의할 것, 숫자나 연산 기호를 사용하여 표현할 것2) 수학학습원리(4)①구성원리:아동 스스로 수학적 지식을 구성하여 표현하도록 교사, 안내 및 유도발문으로 학생들이 표현해 보도록 한다. 처음부터 표현 제시 X ② 표현의 원리 : 아동의 인지발달 수준에 맞게 수학적 표현이 이루어지면 더 잘 이해할 수 있는 원의 넓이 표현) 초등학교 : 반경 x 반경 x 원주율 중등 :2) 수학학습원리(4)①구성원리:아동 스스로 수학적 지식을 구성하여 표현하도록 교사, 안내 및 유도발문으로 학생들이 표현해 보도록 한다. 처음부터 표현 제시 X ② 표현의 원리 : 아동의 인지발달 수준에 맞게 수학적 표현이 이루어지면 더 잘 이해할 수 있는 원의 넓이 표현) 초등학교 : 반경 x 반경 x 원주율 중등 :③ 대조와 다양화의 원리 : 다른 개념과 대조할 때 더 잘 이해할 수 있다 + 추상적 표현까지 발달 가능한 마름모 개념을 직사각형과 대조한다 ④ 연결의 원리 : 또 다른 개념, 원리, 기능과 연결해야 한다.삼각형 구조와 사각형 구조 연결을 통해 다각형 구조 이해를 하다③ 대조와 다양화의 원리 : 다른 개념과 대조할 때 더 잘 이해할 수 있다 + 추상적 표현까지 발달 가능한 마름모 개념을 직사각형과 대조한다 ④ 연결의 원리 : 또 다른 개념, 원리, 기능과 연결해야 한다.삼각형 구조와 사각형 구조 연결을 통해 다각형 구조 이해를 하다③ 마름모꼴의 개념을 직사각형과 대조하다③ 마름모꼴의 개념을 직사각형과 대조하다5. 반지느러미 1) 기하사고 수준(5) ★★★~3레벨 명칭과 특징, 구체적 활동예 암기★ 기하학습 차원에서 사고의 대상과 수단 1 레벨 2 레벨 3 레벨 4 레벨 5 레벨 대상 주변의 사물도 형성 질 명제 논리 수단도 형성 질 명제 논리 추상화① 시각적 수준:주변 사물=>’도형의 모양’ 측면에서 인식[직관적 사고]의 예)창을 보고 사각형으로 인식한다. # 도형의 모양 ② 분석적 수준 [귀납적 사고] : 도형 == 구체적인 조작 활동 ==> 구성요소와 성질 파악 예) 사각형 모형의 도형을 네 조각으로 자른 후 네 꼭짓점이 한 점으로 모이게 하여 네 모서리의 합이 360도임을 이해한다. # 구체적 조작활동#도형의 구성요소와 성질③ 비형식적 연역(관계적) 수준 [연역적 사고] : 관계조직 및 파악, 비형식적 연역에 의해 새로운 성질 추론 가능 # 관계조직 : 어떤 성질이 전제가 되어 결론이 되는지 논리적 관계 파악 #비형식적 연역 #추론3수준의 특징(4)-하나의 도형 내에서 다양한 성질의 관계를 조직할 수 있다.평행 사변형에서 마주 두 쌍의 정도가 서로 평행이다.(성질 1-전제)=>인접하는 두 각의 크기의 합은 180도이다(성질 2–결론)-다양한 도형 사이의 포함 관계를 파악할 수 있다.직사각형은 평행 사변형에 포함된다.-비 형식적 연역을 통해서 도형의 한 성질이 다른 성질의 전제가 되기, 도형의 새로운 성질을 추론할 수 있다.삼각형 삼각의 크기의 합은 180도이다(성질 1- 대전제)사각형은 삼각형 2가지로 나뉜다.(성질 2- 소전제)=>사각형 사각의 크기의 합은 360도이다 ( 새로운 성질–결론)-도형의 성질에 대한 핀 요 조건과 충분 조건을 구분하고 이를 통해서 도형의 정의를 추론할 수 있다.사각형에서 마주 보는 두 변의 길이가 각각 같다.(직사각형이 되기 위한 필요 조건)사각형 사각의 크기가 모두 마찬가지이며(직사각형이 되기 위한 충분 조건)=>사각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형 모양이다. 도형의 정의 추론3수준의 특징(4)- 한 도형 내에서 여러 성질의 관계를 조직할 수 있다.평행사변형으로 마주보는 두 쌍의 변이 서로 평행하다. (성질 1–전제)=>인접하는 두 각 크기의 합은 180도이다. (성질 2–결론)-다양한 도형 사이의 포함관계를 파악할 수 있다.직사각형은 평행사변형에 포함된다. – 비형식적 연역을 통해 도형의 한 성질이 다른 성질의 전제가 되는 것, 도형의 새로운 성질을 추론할 수 있다.삼각형 삼각 크기의 합은 180도이다. (성질 1–대전제) 사각형은 삼각형 2개로 나뉜다. (성질 2–소전제) => 사각형 사각 크기의 합은 360도이다. (새로운 성질–결론)-도형의 성질에 대한 핀요 조건과 충분히 조건을 구분하고, 이를 통해 도형의 정의를 추론할 수 있다.사각형에서 마주보는 두 변의 길이가 각각 같다. (직사각형이 되기 위한 필요조건) 사각형 사각의 크기가 모두 같다(직사각형이 되기 위한 충분조건)=> 사각의 크기가 모두 같은 사각형은 직사각형이다. 도형의 정의 추론④ 형식적 연역 수준 ⑤ 엄밀한 수준 2)기하 학습 단계(5)[중등]순서 다시 배열로 기출. 구분, 흐르는 중심으로 보면 ① 질문 안내:대화에서 주제 소개 ② 안내된 탐구:단일 단계 과제 제시=>학습 방향 감지, 주제의 구조 점진적 파악 ③ 발전/명확화:본인 경험+교사의 도움말=주제의 구조에 대한 의견 표현=>구조 명확, 관계 체계 형성 ④ 자유 탐구:다양한 방법으로 복잡한 과제 제시 ⑤ 통합:탐구 활동 전체에 빛을 사용할 사고 수준의 비약이 태어났다6. 프로이센은 덴탈#현실적 수학 교육#실행 수학 1)수학화(3)★ 특징과 적용 사례 암기 ① 수평적 수학화:비 수학적인 현실 상황==관찰, 실험, 귀납 등==수학적 예) 흩어진 우유를 세어 보고 몇개 묶어 표현하는 것. ② 수직적 수학화:수학적 표현==>보다 기호화 형식화 예)다발을 보고 덧셈식 또는 곱셈에서 나타내는 것. ③ 응용 수학화:개념을 현실 세계의 새로운 문제에 적용하고 개념 강화 및 일반화 과정의 예)현실의 새로운 문제 상황을 곱셈식을 이용하고 해결하는 2)수학화 교수-학습의 원리 ① 안내된 재고 발명:교사의 안내에서 이미 발명된 수학적 내용을 학생들이 다시 발명 중 사고 실험 중 현실에 맞지 문맥 ② 반성적 사고:레벨 상승의 원동력, 자신의 행동과 생각을 의식화하고 객관적으로 분석하는 사고+)수학 수업의 방향:점진적 수학화에 따른 수준 상승(반성적 사고#본질적인 수학적 사고: 새로운 현실 학습7. 벨트 하이머의미있는 학습(=이해학습)→생산적 사고→인견을 통한 문제해결(=아하경험)1)이해 학습과 기계적 학습 ① 이해 학습:전체적인 구조를 파악하고 학습=>생산적 사고 ② 기계적 학습:구조적 원리는 이해하지 못하고 공식을 단순히 암기하고 문제 해결=>비생산적 사고 2)생산적 사고:문제의 전체적인 구조 이해에 기초한 사고 수학적 구조 이해를 통해서 문제의 단순화 가능 문제를 시각적 또는 도형으로 재구성했을 때 더 쉽게 직관 파악이 가능. └ 문제 해결의 예)1+2+3+…+100=>P.46그림=>(1+100)x 50=50503)통찰의 문제 해결:문제의 해결책이 갑자기 떠오르는 경험8. 소아 ★★ 문제해결 단계별 지문, 문제해결 전략 익히기 1) 문제해결 4단계 ★① 문제의 이해(SEE)문제 해결을 위해서 무엇을 알아야 하거나 필요한지 이해- 구하고 싶은 것(미지수임)는 무엇인가?-문제의 상황에 대해서 마음 속에서 그림을 그리시오.조건을 불충분하나?-조건을 여러 부분으로 분해하세요.② 개발 계획 수립(PLAN)★ 문제 해결 프로그램의 구상-이전에 이와 유사한 문제를 푼 경험이 있는가. =>유추적 사고-유사한 문제를 푼 때에 사용한 전량과 해결 방법을 무엇이었을까?-유용하게 사용할 수 있는 정리를 아는가?-어떤 전략을 선택하고 왜 그 전략을 사용하는가?③ 해결 프로그램(DO)계획한 전략 실제 이행-수립된 전략을 적용해서 차례로 문제를 해결하도록 한다.-해결 과정에서 차례차례 장애에 부딪혔을 때 좌절하거나 포기하지 않도록 격려한다.④ 반성(CHECK)★ 문제를 해결한 과정 처음부터 검토, 다른 방법으로 해결할 수 없는지 탐색, 다른 더 나은 방법들 생각에 주어진 문제의 확장 가능성을 고려 ☆ 문제 해결 과정을 검토하시오.-요구한 대답이 문제의 조건에 맞지?(점검)계산은 정확한가? ⑵ 다른 해결 방법을 탐색하는 ☆- 다른 해결 방법이 있는가? -“예상과 확인”전략 ㉠ 조건을 변경하고 새로운 문제를 만들☆-“만약~ 이라면~?”를 사용하여 새로운 문제를 만들어 보세요.=>–문제의 조건을 바꾸고 문제를 변형하거나 새로운 문제를 만들어 보세요. ┌”수용”: 원문제의 주어진 조건이나 결과를 그대로 받아들이고 문제를 만든다.-전략:”관찰과 추측”등 └”도전”: 주어진 조건이나 속성의 나열, 분석과 조건을 변화시키면서 새로운 문제를 낳고 간다. -전략:”What-if-not”2)문제 해결 전략 ★※표시 외:명칭 확인 정도만 ① 실제로 하고 보면 ②식 만들기 ③ 예상과 확인 ★:문제를 해결할 때의 답이 얼마라고 예상하면서, 그것이 문제의 조건에 적절한지 알아보고 전략 ④ 그림을 그려⑤ 표작리 ⑥ 규칙 찾아 ⑦ 단순 화해 ★:보다 간단한 문제를 만들어서 해결한 뒤 그 전략을 전 문제에 적용하고 해결하기 ⑧ 반대로 풀다-“역연산”, 리스트 만들기 ⑦ 논리적 추론 ★:정답이 될 수 있는 다양한 사실 중, 주어진 조건을 만족하고 면서/고찰하는 전략9. 교수학적 변환론 – 교수학적 변환 : ‘학문수학'(전문수학자) => ‘학교수학'(초등학생) – 교과서 개발자, 교사에 의해 일어난다. – 2회에 걸쳐 일어날 수 있다. 예) 교과서 개발자가 유클리드 원론을 도형 단원의 내용으로 변환한 것. 교사가 교과서, 교사용 지도서 등을 토대로 다시 재변환한 것.